Riflettiamo sulle coniche

GUARDARE FINO A STUPIRSI

Quando guardiamo questo nostro mondo quante cose affascinanti: oggetti che cadono, il moto dei pianeti, la luce che si riflette, il suono delle voci…ma tutti questi fenomeni sono slegati o c’è un segreto che li unisce?

Da domande così può nascere il desiderio di avventurarsi in un cammino di conoscenza che, a partire dallo studio di oggetti matematici, li scopre come architettura nascosta di molti fenomeni quotidiani.

 

La mostra è nata a conclusione di una settimana di studi sulla matematica, un progetto di alta formazione finanziato dalla Regione Lombardia. Ad essa hanno partecipato studenti di diverse scuole superiori tra cui alunni del Liceo Imiberg di Bergamo e La traccia di Calcinate che hanno poi progettato e interamente realizzato il percorso accompagnati da un gruppo di docenti.

Il percorso della mostra si articola in due sezioni: la prima, più matematica, a partire da modelli semplici, presenta alcune particolari curve dette coniche e ne approfondisce il significato matematico. La seconda sezione le ritrova dentro i più svariati fenomeni fisici e ne svela la particolarità.

 

1^ SEZIONE: L’OGGETTO MATEMATICO

UN GRANDE MAESTRO

Fin dall’antichità, Apollonio di Perga aveva osservato che sezionando un cono a due falde (un doppio cono) con piani inclinati in modo diverso, i profili delle figure che si ottenevano erano cerchi, ellissi, parabole o iperboli.

SEZIONANDO UN CONO

Queste curve, i cui nomi possono sembrare un po’ strani, sono invece a noi assolutamente familiari perché sono esattamente i profili che ci appaiono quando con una torcia illuminiamo una parete vuota o quando tagliamo dei coni (anche gelato) con un taglierino.

METTIAMO A FUOCO

Nel XVII secolo ci si accorse che si potevano ottenere le stesse figure dando delle particolari proprietà di distanza. Allora la circonferenza si ottiene come il luogo dei punti che distano dal centro una lunghezza pari al raggio mentre l’ellisse è come il luogo dei punti di distanza fissata rispetto a due punti assegnati detti fuochi. E così via anche per le altre due coniche.

La definizione, all’apparenza difficile è invece molto semplice da applicare, tanto da diventare il metodo preferito dai giardinieri per tracciare aiuole di forma ellittica o circolare.

Proprio sfruttando questo metodo si possono scoprire come le proprietà delle curve sono strettamente legate alle caratteristiche che il giardiniere sceglie per costruirla.

 

PIEGA E SPIEGA

A partire dalla stessa definizione, è possibile costruire le curve sfruttando gli origami: piegando in modo opportuno dei fogli colorati si costruiscono dei fasci di rette tangenti il cui effetto complessivo è quello di individuare in modo molto chiaro il profilo della conica che di volta in volta si vuole rappresentare.

 

UN’UNITA’ DI SGUARDO

Nel 1822 un matematico belga dimostrò che questi due punti di vista da cui è possibile ottenere le coniche (il primo ottenuto dalla geometria sintetica, sezionando un cono,  e il secondo metrico,  sfruttando le distanze), se riportate contemporaneamente in una figura tridimensionale, definiscono esattamente le stesse curve.

In questo modo emerse ancor più chiaramente che questi oggetti così speciali per i matematici, avevano una loro “personalità” indipendente dall’approccio di studio.

 

2^ SEZIONE: I FENOMENI FISICI

Già lo studio delle proprietà matematiche di questi oggetti stupisce per l’ordine e la simmetria che li caratterizza. Ma l’elemento che li rende così speciali è la scoperta che moltissimi fenomeni naturali sono legati a queste curve.

 

TROVA LE SOMIGLIANZE

Il primo e più importante ambito in cui si vede questo sono i moti dei corpi. Qualsiasi moto legato alla gravità è descritto da traiettorie che sono coniche: la caduta di acqua da una fontana o un oggetto lanciato da un terrazzo descrivono parabole, il moto dei corpi celesti è descritto da ellissi o iperboli o.. Questo è così vero che, proprio sfruttando la matematica, è possibile prevedere dove una pallina passerà nel suo moto di caduta.

LA RIFLESSIONE E’ UN CASO?

Anche quando si studiano i comportamenti legati alle riflessioni si osserva che le coniche sono oggetti molto speciali. Infatti è possibile dimostrare che, per la loro forma, quando un oggetto incide su superfici coniche, viene riflesso in modo molto particolare.

IL PRINCIPIO DI ECONOMIA

In generale quando un corpo urta una parete si può dimostrare che forma un angolo di incidenza pari a quello di riflessione. La proprietà è vera per i corpi dotati di massa ( una pallina) come per i  raggi di luce che si riflettono contro uno specchio piano. Questo principio è quello che si sfrutta anche nei caleidoscopi per costruire, attraverso giochi di specchi a varie angolature, figure simmetriche, piane o solide. E’ possibile dimostrare che la proprietà della riflessione è quella per cui il corpo o il raggio di luce compie un tragitto minore cioè è quella che minimizza l’energia.

Se la superficie riflettente non è piana ma curva la forma dell’immagine potrà essere diversa. Per esempio, se si usa un cucchiaio, l’immagine risulterà ribaltata, rimpicciolita o ingrandita a seconda di proprietà geometriche ben precise.

 

COSE IMPREVISTE

Se la superficie riflettente è di forma circolare è possibile inclinare un raggio di luce laser in modo da formare poligoni regolari con un numero di lati dipendente dall’angolo d’incidenza. Se la superficie è ellittica, se l’oggetto riflesso parte da uno dei due fuochi dell’ellisse, urta la parete e poi viene rimbalzato nell’altro fuoco. Questo è bellissimo da vedere sia nel caso di palline che rimbalzano su un “biliardo ellittico” sia nel caso di raggi di luce. Il parallelismo è particolarmente significativo per la storia della scienza visto che  proprio a partire da esperimenti tipo questi Newton ipotizzò che la natura microscopica della luce fosse corpuscolare cioè che i raggi luminosi fossero costituiti da corpuscoli. Sarà solo il confronto con Huygens che ne svelerà la natura ondulatoria fino alle scoperte del XX secolo sulla duplice natura della luce.

 

LO SPECCHIO PARABOLICO

I fenomeni di riflessione sono ancora più sorprendenti quando si utilizza la parabola. Infatti, come astutamente sfruttò Archimede con i siracusani, per convogliare dei raggi luminosi in un punto è sufficiente disporre degli specchi piani lungo una linea parabolica e la luce verrà riflessa esattamente nel fuoco della parabola. Se invece si manda un fascio luminoso contro uno specchio curvo di forma parabolica, la  concentrazione dei raggi riflessi può essere sufficiente per far incendiare un foglio di carta posto nel fuoco.

Un’altra esperienza intrigante sulle proprietà ottiche delle coniche riguarda i miraggi: se si hanno due specchi parabolici affacciati essi sono in grado di ricostruire l’immagine virtuale di un oggetto in modo così nitido da dare la percezione di una cosa reale mentre è solo un effetto ottico.

L’ultimo fenomeno sulle parabole molto interessante da osservare  riguarda le onde sonore posizionano affacciate due antenne paraboliche che si usano normalmente per captare onde elettromagnetiche satellitari. Se si bisbiglia nel fuoco di una di esse, le onde sonore vengono riflesse dalla prima parabolica alla seconda e da quest’ultima convogliate nel secondo fuoco in modo che un ascoltatore in quel punto sente nitidamente la voce sussurrata anche  a parecchi metri di distanza.

 

CONCLUSIONE

Attraverso la mostra si ripercorrono insieme quasi 18 secoli di matematica  e fisica, intuizioni e scoperte di uomini geniali o di semplici appassionati. Ma paradossalmente la fine del percorso lascia ognuno più curioso di quando ha iniziato perché reso più certo del fatto che tutto ciò che ci circonda è pieno di senso e di bellezza, offerta a noi per essere scoperta e gustata. Diceva infatti Feymann: ”A una maggiore conoscenza si accompagna un più insondabile e meraviglioso mistero che spinge a penetrare ancor più in profondità […] verso domande e misteri ancor più meravigliosi – certamente una grande avventura.”